بررسی مسائلی روی حوزه های پروفر

حوزه های ارزیاب و حوزه های پروفر نیمه موضعی دو گروه از حوزه های پروفر هستند که در این رساله به مطالعه ی آن ها می پردازیم. با توجه به تناظر یک به یکی که بین حوزه های ارزیاب و ارزیاب ها وجود دارد، حوزه های ارزیاب را در قالب نظریه ارزیاب مورد مطالعه قرار می دهیم. در بخش اول این رساله که به نظریه ارزیاب اختصاص می یابد، از مفهوم ترفیع چندجمله ای ها به عنوان یک ابزار مهم استفاده می کنیم تا نتایجی را در مورد جفت های متمایز و زنجیرهای متمایز کامل نسبت به یک میدان ارزیابی هنسلی از رتبه دلخواه به دست آوریم. درواقع فرض می کنیم که ‎(k,v)‎ یک میدان ارزیابی هنسلی از رتبه دلخواه باشد. روشی را برای ساختن جفت های متمایز و سپس زنجیرهای متمایز کامل با داشتن متغیرهای معین با به کارگیری ترفیع چندجمله ای ها نسبت به ‎(k,v)‎ ارائه می دهیم. سپس یک رده بندی متفاوت از جفت های متمایز با استفاده از ترفیع چندجمله ای های تحویل ناپذیر نسبت به ‎(k,v)‎ ارائه خواهیم کرد. در بخش دوم، مفهوم توسیع حوزه های پروفر نیمه موضعی را با الهام از مفهوم مشابه آن، در نظریه ارزیاب تعریف خواهیم کرد. ابتدا نشان می دهیم که هر حوزه پروفر نیمه موضعی به هر توسیع از میدان خارج قسمت هایش قابل توسیع است و سپس به بررسی بیشتر این توسیع ها زمانی که توسیع میدان ها جبری است می پردازیم. نشان داده می شود که تعداد توسیع های یک حوزه پروفر نیمه موضعی زمانی که درجه جدایی پذیری توسیع میدان ها متناهی است، محدود بوده و یک کران بالا برای این تعداد می یابیم. به علاوه نشان می دهیم که در توسیع جبری میدان ها هر دو توسیع متمایز برای یک حوزه پروفر نیمه موضعی با رابطه شمول غیرقابل مقایسه هستند.